행렬 표기법과 관련 용어
- 행렬(matrix)은 직사각형 구조에 숫자들을 담아 놓은 구조이다. 각 숫자들은 행렬의 요소(entry)라 부른다.
- 행벡터(row vector)와 열벡터(column vector)로 구성되있다.
- 스칼라 = [4] 와 같이 1x1행렬.
- 주요 표기법
- 행렬 A의 각 요소 (i, j)-요소는
- 행렬 A를 간략히 표기할 때는
- 행렬 A의 크기가 중요할 경우는
전치행렬(Transpose Matrix)
m x n 행렬 A에 대한 transpose matrix(전치행렬) $A^{T}$는 A의 행을 열로, A의 열을 행으로 가지는 n x m 행렬이다.
벡터 표기법
벡터는 볼드체 소문자로 표기한다.
- 벡터라고 하면 일반적으로 열벡터(column vector)를 말한다.
- n-벡터는 n개의 스칼라(scalar)로 구성된 벡터를 말한다.
Zero matrix(영행렬)
행렬의 모든 요소가 0이면, 해당 행렬을 영행렬(zero matrix)라 하고 $O$로 표기한다.
$A + O = O + A = A$
영행렬은 숫자의 0과 같은 존재로 행렬합에 대한 항등원 역할을 한다.
- 행렬의 합: 두 행렬 A와 B의 행과 열의 개수가 모두 같을 때 성립하며, 각 (i,j) 요소의 합으로 정의된다.
n x n 행렬: Square Matrix(정방행렬)
행과 열의 개수가 모두 n인 정사각형(square)모양의 행렬을 n차 정방행렬이라 한다. 특히 $a_{ii} (i=1,2,3...)$를 행렬 A의 main diagonal(주대각선)이라 한다.
항등행렬(Identity Matrix)
주대각선(main diagonal)이 1이고 나머지 요소는 모두 0인 n차 정방행렬을 항등행렬이라고 한다. 항등행렬은 숫자의 1과 같은 존재로 행렬의 곱에 대한 항등원 역할을 한다.
⭐중요 행렬의 곱
A(m x r) X B(r x n) = C(m x n)을 만족한다.
왼쪽의 열의 개수와 오른쪽의 행의 개수가 맞아야 곱할수 있다.
A의 행벡터와 B의 열벡터 내적과 같다.
- 행렬 C의 각 요소 $c_{ij}$는 곱의 왼쪽 행렬 A의 i번째 행벡터와 곱의 오른쪽 행렬 B의 j번째 열벡터의 내적(inner product)이다.
- 따라서 두 행렬의 곱 AB에 대해 A의 열의 개수와 B의 행 개수는 일치해야 한다.
- 일반적으로 AB != BA이다.
- 행렬의 곱은 병렬처리(parallel processing)으로 가속할 수 있다.
분할행렬(Partitioned Matrix) (⭐⭐⭐⭐⭐)
행렬을 조각(partition) 단위로 분할하여 생각해도 무방하다. 이런 관점에서 본다면, 행렬은 부분행렬(submatrix)로 이루어진 직사각형 구조로 확장해서 생각할 수 있다. 이렇게 행렬을 구조적으로 보는 방법을 분할행렬(partitioned matrix) 또는 블록행렬(block matrix)라 한다.
- 행렬은 열벡터들의 모음이고 행벡터 기준으로 썻을떄는 컬럼 벡터로 가능하다.
- 행렬은 행벡터들의 모음이고 열벡터 기준으로 썻을때 행벡터로 표현 가능하다.
분할행렬로 행렬의 곱 이해하기
두 행렬의 곱 AB = C 를 아래와 같이 matrix-column vector products로 볼 수 있다.
선형조합(Linear Combination): Ax는 A의 열벡터에 대한 선형조합
- 행렬을 구조적으로 보기
- 행렬은 열벡터의 리스트다.
- $a_i$는 행렬 A의 i-번째 열벡터다. 특히 각 열벡터는 m-벡터이기 때문에, m x n 행렬은 m벡터가 n개 있다고 해석하면 된다.
- 이제 행렬 Ax를 행렬 A가 가지고 있는 열벡터의 선형조합으로 볼 수 있게 된다.
- 선형대수에서는 이처럼 벡터들에 대한 가중치 합을 특히 선형조합(linear combination)이라 부른다.
- 열공간(Column Space)
- 행렬 A의 열벡터들에 대한 가능한 모든 선형조합의 결과를 모아 집합으로 구성할 수 있을 것이다. 이 집합을 column space라 하고 다음과 같이 표기한다. col(A)
- Consistent Linear System: 선형시스템 Ax = b
- Inconsistent Linear System: 선형시스템 Ax = b가 해가 없으면
