함수란? 함수는 두 집합 간의 맵핑룰(mapping rule)이다. 입력이 정의되는 집합을 D(domain)이라 한다. 출력이 정의되는 집합 C을 codomatin(공역)이라 하며, codomain 중 실제 함수의 출력이 나오는 부분집합은 range(치역)이라 한다. 함수 f는 아래 그림 D의 각 원소 x가 C의 한 원소 y(=f(x))에 대응되는 매핑룰(mapping rule)이다. domain과 codomain을 강조하여 다음과 같이 적기도 한다. 선형함수(linearfunction) 만일 함수 f가 아래 두가지 조건을 만족하면 함수 f를 선형 함수(linear function)이라고 한다.(c는 임의의 스칼라) 변환(Transformation) 함수의 입력이 n-벡터이고 출력이 m-벡터인 함수 T인..
좌표계 :: 좌표값 = 행렬 :: 벡터 - 좌표계 변환(Change of Basis) A(좌표계) x(좌표값) = b(좌표값) A(좌표계) x(좌표값) = I(표준 좌표계)b(좌표값) 좌표계(Coordinate System) 다음과 같이 2-벡터 v가 주어지면 이 벡터는 xy평면상에서 원점 (0,0)으로부터 (a,b)에서 끝나는 벡터를 의미한다. 만일 두 벡터 v_1과 v_2를 이용해 새롭게 좌표계를 만든다면 v의 좌표값은? => 어떤 벡터 v에 도달하기 까지 v_1벡터와 v_2 벡터를 몇번 사용하여 도착했는지 해석해보면 된다. 좌표값은 항상 좌표계를 수반한다. 그렇다면 Ax = b를 다음과 같이 해석할 수 있다. (우항): 표준좌표계(standard coordinate system)에서 어떤 벡터의 좌..
행렬 표기법과 관련 용어 행렬(matrix)은 직사각형 구조에 숫자들을 담아 놓은 구조이다. 각 숫자들은 행렬의 요소(entry)라 부른다. 행벡터(row vector)와 열벡터(column vector)로 구성되있다. 스칼라 = [4] 와 같이 1x1행렬. 주요 표기법 행렬 A의 각 요소 (i, j)-요소는 행렬 A를 간략히 표기할 때는 행렬 A의 크기가 중요할 경우는 전치행렬(Transpose Matrix) m x n 행렬 A에 대한 transpose matrix(전치행렬) $A^{T}$는 A의 행을 열로, A의 열을 행으로 가지는 n x m 행렬이다. 벡터 표기법 벡터는 볼드체 소문자로 표기한다. 벡터라고 하면 일반적으로 열벡터(column vector)를 말한다. n-벡터는 n개의 스칼라(scal..
행렬분해(matrix decomposition)의 의미 행렬을 행렬분해 한 상태로 가지고 있으면 여러모로 계산이 편리한 경우가 많다. LU분해(LU decomposition) QR분해(QR decomposition) 특이값 분해(SVD, Singular Value Decomposition) LU분해 주어진 행렬을 아래의 형태처럼 분할하는 방법이다. L: lower triangular matrix(하삼각 행렬) U: upper triangular matrix(상삼각 행렬) LU분해를 하게 되면 Ax = b 의 계산을 다음과 같이 수행할 수 있다. LU분해의 의미 LU분해는 가우스 소거법의 forward elimination을 행렬로 코드화 한 것이다. L: 행렬 A를 전방소거하는데 쓰인 replacemen..
Solutions of a Linear System 해가 하나인 경우(unique solution) 해가 없는 경우(no solution) 0 * x = 6 해가 여러개인 경우(infinitely many solutions) 0 * x = 0 ax = b에서 a = 0이면 특이하다. ax = b의 해가 곧장 나오지 않는다. 왜? a의 역수(inverse)가 존재하지 않는 경우, a가 특이(singular)하다고 한다. 해가 있으면 선형시스템이 consistent하다고 한다. 해가 없으면 선형시스템이 inconsistent하다고 한다. Gauss elimination(가우스 소거법) Forward elimination(전방소거법) : 주어진 선형시스템을 아래로 갈수록 더 단순한 형태의 선형방정식을 가지도록..
가우스 소거법(Gauss 소거법) 선형대수(linear algebra)의 목표는 어떤 연립일차방정식, 즉, linear system(선형시스템) 문제라도 정형적인 방법으로 표현하고 해결하는 방법을 배우는 것이다. $Ax = b$ linear란 선의 형태라는 뜻. 평면이거나 왜곡되지 않은 공간. 올곧은 공간(?) 아래와 같은 식이 있을때, 이 방정식들을 각각 선형방정식(linear equation)이라고 한다. 또 여기서 각각의 미지수 x,y,z를 unknown, 혹인 variable이라고 한다. 위 처럼 3개의 linear equation과 3개의 unknown으로 구성된 연립일차방정식을 3 x 3 linear system이라고 한다. 비선형이란 말은 곡선이라 생각하면됨. 미지수의 승수가 1로만 구성 되..
