좌표계 :: 좌표값 = 행렬 :: 벡터 - 좌표계 변환(Change of Basis)
A(좌표계) x(좌표값) = b(좌표값)
A(좌표계) x(좌표값) = I(표준 좌표계)b(좌표값)
- 좌표계(Coordinate System)
다음과 같이 2-벡터 v가 주어지면 이 벡터는 xy평면상에서 원점 (0,0)으로부터 (a,b)에서 끝나는 벡터를 의미한다.
만일 두 벡터 v_1과 v_2를 이용해 새롭게 좌표계를 만든다면 v의 좌표값은?
=> 어떤 벡터 v에 도달하기 까지 v_1벡터와 v_2 벡터를 몇번 사용하여 도착했는지 해석해보면 된다.
- 좌표값은 항상 좌표계를 수반한다.
- 그렇다면 Ax = b를 다음과 같이 해석할 수 있다.
- (우항): 표준좌표계(standard coordinate system)에서 어떤 벡터의 좌표값은 b이다.
- (좌항): A의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일 벡터의 좌표값은 x이다.
- 역행렬을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 문제 역시 좌표계 변환으로 바라볼 수 있다.
- 좌항: 표준좌표계에서 어떤 벡터의 좌표값은 x이다.
- 우항: $A^{-1}$의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일 벡터의 좌표값은 b이다.
⭐정리
- 행렬은 좌표계이고, 벡터는 좌표값이다.
- 임의의 v는 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다.
